第 07 讲 代数式、数字与图形变化规律 【学习目标】 1. 理解用字母表示数的意义，会用字母表示数，知道求含有字母式子的值的方法； 2. 了解代数式的值的概念，会求代数式的值，会利用求代数式的值解决较简单的实际问题。 【基础知识】 一．代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单 独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2 等． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 二．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如 “除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确 列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中， 先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④ 规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数 相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时 不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中 的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或 者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 三．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识 的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量 关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，设 出其他未知数，然后列方程． 四．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利 用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【考点剖析】 一．代数式（共 3 小题） 1．（2021 秋•宽城县期末）代数式 a2﹣ 的正确解释是（ ） A．a 的平方与 b 的倒数的差 B．a 与 b 的倒数的差的平方 C．a 的平方与 b 的差的倒数 D．a 与 b 的差的平方的倒数 【分析】根据代数式的字母表示，用文字解释代数式的意义即可． 【解答】解：因为代数式 a2﹣ 计算过程是先算乘方，再算减法， 所以代数式 a2﹣ 的正确解释是： a 的平方与 b 的倒数的差． 故选：A． 【点评】本题考查了代数式，解决本题的关键是正确理解代数式的算理． 2．（2021 秋•海安市期中）下列各式中，符合代数式书写要求的是（ A．x•5 B．﹣ ab C．1 x ） D．4m×n 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：A、字母与数字相乘时，乘号省略不写，数字写在前面，原书写错误，故此选项不符合题意； B、符合代数式的书写要求，原书写正确，故此选项符合题意； C、带分数应写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意； D、字母与字母相乘时，通常简写成“•”或者省略不写，原书写错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘 号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式 中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 3．（2021 秋•高淳区期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式 100﹣9.8x 的实际意义 斤 9.8 元的苹果 x 斤余下的钱 用 100 元买每 ． 【分析】根据题意结合图片得出代数式 100﹣9.8x 的实际意义． 【解答】解：代数式 100﹣9.8x 的实际意义为：用 100 元买每斤 9.8 元的苹果 x 斤余下的钱． 故答案为：用 100 元买每斤 9.8 元的苹果 x 斤余下的钱． 【点评】此题主要考查了代数式，结合题意利用图片得出是解题关键． 二．列代数式（共 3 小题） 4．（2022 春•鼓楼区校级月考）某种产品的原料进行价格调整，现有三种方案： （1）第一次提价 p%，第二次降价 p%； （2）第一次提价 2p%，第二次降价 p%； （3）第一次提价 2p%，第二次降价 2p%． 其中 p 是正数，三种方案中哪种方案最后定价最低？（ ） A．第（1）种 B．第（2）种 C．第（3）种 D．三种方案价格一样 【分析】先设原价为 x，可得方案一的定价为（1+p%）（1﹣p%）x，方案二的定价为（1+2p%）（1﹣ p%）x，方案三的定价为（1+2p%）（1﹣2p%）x，比较即可求解． 【解答】解：设原价为 x，则 方案一的定价为（1+p%）（1﹣p%）x，方案二的定价为（1+2p%）（1﹣p%）x，方案三的定价为（1+2p%） （1﹣2p%）x， ∵（1+p%）（1﹣p%）x﹣（1+2p%）（1﹣p%）x ＝（1﹣p%）x（﹣p%） ＝﹣p%（1﹣p%）x， 显然，﹣p%（1﹣p%）x＜0， ∴方案一的定价比方案二的定价低， ∵（1+p%）（1﹣p%）x﹣（1+2p%）（1﹣2p%）x ＝[1﹣（p%）2]x﹣[1﹣（2p%）2]x ＝3（p%）2x， 显然，3（p%）2x＞0， ∴方案三的定价比方案一的定价低， ∴方案三最后定价最低， 故选：C． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是先表示出每种方案的定价，再比较大小． 5．（2022•邳州市一模）周末小明与同学相约在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的菜单总 共为 10 个汉堡，x 杯饮料，y 份沙拉，则他们点的 B 餐份数为（ A．10﹣x B．10﹣y C．x﹣y ） D．10﹣x﹣y 【分析】根据点的饮料能确定在 B 和 C 餐中点了 x 份汉堡，根据题意可得点 A 餐 10﹣x，从而可求 B 餐 的份数． 【解答】解：∵x 杯饮料则在 B 和 C 餐中点了 x 份汉堡， ∴点 A 餐为 10﹣x， ∴y 份沙拉，则点 C 餐有 y 份， ∴点 B 餐的份数为：10﹣（10﹣x）﹣y＝x﹣y， 故选：C． 【点评】本题考查列代数式；能够根据题意，以意大利面为依据，准确列出代数式是解题的关键． 6．（2021 秋•泰州期末）下列关于“代数式 4x+2y”的意义叙述正确的有（ ①x 的 4 倍与 y 的 2 倍的和是 4x+2y； ）个． ②小明以 x 米/分钟的速度跑了 4 分钟，再以 y 米/分钟的速度步行了 2 分钟，小明一共走了（4x+2y）米； ③苹果每千克 x 元，橘子每千克 y 元，买 4 千克橘子、2 千克苹果一共花费（4x+2y）元． A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】按照代数式的意义和运算顺序判断各项． 【解答】解：“代数式 4x+2y”的意义是 x 的 4 倍与 y 的 2 倍的和，故①正确； 将“代数式 4x+2y”赋予实际意义，可以是小明跑步速度为 x 米/分钟，步行的速度为 y 米/分钟，则小明 跑步 4 分钟后步行 2 分钟，一共走了（4x+2y）米，故②正确； 还可以是苹果每千克 x 元买了 2 千克，橘子每千克 y 元买了 4 千克，则一共花费（2x+4y）元，故③错 误． 故正确的有 2 个． 故选：B． 【点评】本题考查了列代数式，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．注意掌握代数式的意义． 三．规律型：数字的变化类（共 4 小题） 7．（2022 春•邗江区校级月考）我们将如图所示的两种排列形式的点数分别称作“三角形点数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形点数”（如 1，4，9，16，…）．在小于 300 的点数中，设最大的“三角形点数” 为 m，最大的“正方形点数”为 n，则 m+n 的值为（ A．589 B．565 ） C．556 【分析】由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+…+n＝ D．532 ，第 n 个正方形数为 n2，据此可以得出最 大的三角形数和正方形数，即可以求得 m 和 n 的值，从而可以计算出 m+n 的值． 【解答】解：由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+…+n＝ 当 n＝23 时， ＝276＜300，当 n＝24 时， ，第 n 个正方形数为 n2， ＝300， 所以最大的三角形数 m＝276； 当 n＝17 时，n2＝289＜300，当 n＝18 时，n2＝324＞300，所以最大的正方形数 n＝289； 则 m+n＝276+289＝565， 故选：B． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现三角形数和正方形数的变化特点， 求出 m、n 的值． 8．（2021 秋•江阴市期末）将﹣1，2，﹣2，3 按如图的方式排列，规定（m，n）表示第 m 排左起第 n 个 数，则（5，4）与（21，7）表示的两个数之积是（ A．﹣2 B．4 ） C．﹣4 D．6 【分析】通过观察发现，所给的数分别是﹣1，2，﹣2，3 四个数循环摆放，每行分别有 1 个数，2 个数， 3 个数，求出前 20 行共有 10×（1+20）＝210 个数，可得第 21 行的第一个数是﹣2，由此可求（21，7） 是﹣1，又由（5，4）是 2，即可求解． 【解答】解：由所给的数，每行分别有 1 个数，2 个数，3 个数， ∴前 20 行共有 10×（1+20）＝210 个数， 通过观察发现，所给的数分别是﹣1，2，﹣2，3 四个数循环摆放， ∵210÷4＝52…2， ∴第 20 行的最后一个数 2， ∴第 21 行的第一个数是﹣2， ∴（21，7）是﹣1， ∵（5，4）是 2， ∴（5，4）与（21，7）表示的两个数之积是﹣2，