第 12 讲 代数式全章复习与测试 【学习目标】 1. 理解并掌握单项式与多项式的相关概念； 2. 理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、 求值； 【基础知识】 1．代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单 独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2 等． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 2．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如 “除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确 列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中， 先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④ 规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数 相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时 不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中 的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或 者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 3．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 4．同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 5．合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项； 字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化 简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数 不变． 6．去括号与添括号 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号 外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉， 括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去 掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号， 括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 7．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识 的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量 关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，设 出其他未知数，然后列方程． 8．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利 用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 9．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式 连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部 分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 10．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的 含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如 a 或﹣a 这样的式子的系数是 1 或﹣1，不能 误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 11．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中 次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数， 如果一个多项式含有 a 个单项式，次数是 b，那么这个多项式就叫 b 次 a 项式． 12．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时， 去括号后括号内的各项都要改变符号． 13．整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值， 不能把数值直接代入整式中计算． 【考点剖析】 一．代数式（共 1 小题） 1．（2021 秋•宽城县期末）代数式 a2﹣ 的正确解释是（ ） A．a 的平方与 b 的倒数的差 B．a 与 b 的倒数的差的平方 C．a 的平方与 b 的差的倒数 D．a 与 b 的差的平方的倒数 【分析】根据代数式的字母表示，用文字解释代数式的意义即可． 【解答】解：因为代数式 a2﹣ 计算过程是先算乘方，再算减法， 所以代数式 a2﹣ 的正确解释是： a 的平方与 b 的倒数的差． 故选：A． 【点评】本题考查了代数式，解决本题的关键是正确理解代数式的算理． 二．列代数式（共 1 小题） 2．（2022•南京一模）李奶奶买了一筐草莓，连筐共 akg，其中筐 1kg．将草莓平均分给 4 位小朋友，每位 小朋友可分得（ A． kg ） B．（ ﹣1）kg C． D． kg kg 【分析】根据题意，求出草莓的重量，再除以 4 即可． 【解答】解：由题意得：每位小朋友可分得的重量为： kg， 故选：C． 【点评】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意． 三．代数式求值（共 1 小题） 3．（2021 秋•广陵区期末）已知 a﹣2b2＝3，则 2022﹣2a+4b2 的值是（ A．2016 B．2028 C．2019 ） D．2025 【分析】将原式变形为 2022﹣2（a﹣2b2），然后把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：2022﹣2a+4b2＝2022﹣2（a﹣2b2）， ∵a﹣2b2＝3， ∴原式＝2022﹣2×3＝2016． 故选：A． 【点评】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用． 四．同类项（共 1 小题） 4．（2022•姑苏区一模）若单项式 2xym+1 与单项式 是同类项，则 m﹣n＝ ﹣1 ． 【分析】依据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同可求得 m、n 的值，然后依据减法法则计算即 可． 【解答】解：∵单项式 2xym+1 与单项式 xn 2y3 是同类项， ﹣ ∴m+1＝3，n﹣2＝1， ∴m＝2，n＝3． ∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查的是同类项的定义，依据同类项的定义得到 m、n 的值是解题的关键． 五．合并同类项（共 1 小题） 5．（2021 秋•射阳县校级期末）若 3xm+5y2 与 23x8yn+4 的差是一个单项式，则代数式 nm 的值为（ A．﹣8 B．6 C．﹣6 ） D．8 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出 m，n 的值，然后代入式子 中进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： m+5＝8，n+4＝2， ∴m＝3，n＝﹣2， ∴nm＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项，代数式求值，单项式，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 六．去括号与添括号（共 1 小题） 6．（2021 秋•海门市期末）计算﹣（4a﹣5b），结果是（ A．﹣4a﹣5b B．﹣4a+5b C．4a﹣5b ） D．4a+5b 【分析】根据括号前是负号，去掉括号和负号，括号内各项变号即可得答案． 【解答】解：﹣（4a