第 04 讲 有理数乘法与除法 【学习目标】 1．理解有理数的乘法与除法法则； 2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点) 3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点) 【基础知识】 一．倒数 （1）倒数：乘积是 1 的两数互为倒数． 一般地，a• 1 （a≠0），就说 a（a≠0）的倒数是 ． （2）方法指引： ① 倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数 一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ② 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而 0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 数 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0 没有倒数． 二．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得 0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定， 当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因 数为 0，积就为 0． （4）方法指引： ① 运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ② 多个因数相乘，看 0 因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 三．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即： a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于 0 的数， 都得 0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异 号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于 0 的数，等于乘这 个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【考点剖析】 一．倒数（共 2 小题） 1．（2021•阳新县校级模拟）﹣ǀ﹣5ǀ5ǀ 的倒数是（ A．5 B．﹣5 2．（2022•镇江模拟） 的倒数等于 ） C． D． ． 二．有理数的乘法（共 7 小题） 3．（2021 秋•佛山月考）计算：（﹣36）×（ ）． 4．（2021 秋•仪征市期中）规定：水位上升为正，水位下降为负：几天后为正，几天前为 负．若水位每天下降 3cm，今天的水位记为 0cm，那么 2 天前的水位用算式表示正确的 是（ ） A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2） C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣ 2） 5．（2017 秋•亭湖区校级月考）﹣99 36． 6．（2019 秋•天宁区校级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题： 计算：17 （﹣9） 下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程． 9＝﹣17 解：原式＝﹣17 25 ． 7．（2021 秋•无锡期末）有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正 确的是（ ） A．a＞﹣3 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|a|＞|b| 8．（2021 秋•朝阳区校级期末）在数﹣5，1，3，﹣3，4 中，任取两个数相乘，所得积的 最大是 ． 9．（2022 春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝ （﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n） ． （1）计算：M（5）+M（6）； （2）求 2×M（2021）+M（2022）的值； （3）试说明：2×M（n）与 M（n+1）互为相反数． 三．有理数的除法（共 11 小题） 10．（2022•永嘉县模拟）计算﹣6÷2 的结果是（ A．3 11．（﹣81）÷（ B． ） ） C．﹣3 D．﹣12 （﹣16）． 12．计算：（﹣32）÷4×（﹣8）． 13．（2021 秋•宜兴市月考）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这 两个数相除所得的商是（ A．一定是负数 ） B．一定是正数 C．等于 0 D．以上都不是 14．（2021 秋•东台市期中）有两个整数 a，b，且 a＜b，把大于等于 a 且小于等于 b 的所 有数记作[a，b]．例如，大于等于 1 且小于等于 4 的所有数记作[1，4]．若整数 m 在 [5，15]内，整数 n 在[﹣5ǀ30，﹣20]内，那么 的一切值中属于整数的个数为（ A．5 个 B．4 个 C．3 个 ） D．2 个 15．（2021 秋•大丰区期末）有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成 立的是（ ） A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 16．（2021 秋•相城区月考）下列各式中计算正确的有（ D． ） ①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20； ③ ； A．1 个 ． ④ B．2 个 C．3 个 D．4 个 17．（2022•顺义区一模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”： “粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50 单位的粟， 可换得 30 单位的粝米…”问题：有 3 斗的粟（1 斗＝10 升），若按照此“粟米之法”， 则可以换得粝米为 升． 18．（2021 秋•东莞市期中）若|x﹣5ǀ1|＝2，|y+1|＝3，且 x，y 异号，求 x÷y 的值． 19．（2019 秋•交城县期中）阅读下题解答： 计算： ． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． （﹣24）＝﹣16+18﹣5ǀ21＝﹣19． 解： 所以原式 ． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： ． 20．（2021 秋•淮南期中）我们知道，正整数按照能否被 2 整除可以分成两类：正奇数和 正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被 3 除的余数把正整数分成了三类：如果一个 正整数被 3 除余数为 1，则这个正整数属于 A 类，例如 1，4，7 等；如果一个正整数被 3 除余数为 2，则这个正整数属于 B 类，例如 2，5，8 等；如果一个正整数被 3 整除，则 这个正整数属于 C 类，例如 3，6，9 等． （1）2020 属于 类（填 A，B 或 C）； （2）①从 A 类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填 A，B 或 C）； ② 从 A 类数中任意取出 15 个数，从 B 类数中任意取出 16 个数，从 C 类数中任意取出 17 个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填 A，B 或 C）； （3）从 A 类数中任意取出 m 个数，从 B 类数中任意取出 n 个数，把它们都加起来，若 最后的结果属于 C 类，则下列关于 m，n 的叙述中正确的是 （填序号）． ①m+2n 属于 C 类；②|m﹣5ǀn|属于 B 类；③ m 属于 A 类，n 属于 C 类；④ m，n 属于同 一类． 【过关检测】 一、单选题 1．（2021·江苏）下列各组的两个数中，互为倒数的是（ A．3 和﹣3 B．﹣3 和  1 3 C．﹣3 和 1 3 ） 1 1 D． 和  3 3 2．（2019·江苏七年级月考）两个不为 0 的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置， 它们的商不变，那么这两个数（ ） A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数 3．（2021·江苏七年级期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打 八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了 40 元，那么他购买这件商品花了（ A．80 元 B．120 元 C．160 元 ） D．200 元 4．（2020·兴化市乐吾实验学校）在 1，  2 ，  3 ，4 这四个数中，任取两个数相乘，所得 积最大的是（ ） A．  12 B．  2 5．（2020·江苏）已知 A．3 ab 0 C．4 ，试求 D．6 a b ab   的值不可能为（ a b ab B．-3 C．0 ） D．-1 1 6．（2020·兴化市板桥初级中学七年级月考）一个大于 1 的正整数 a，与其倒数 a ，相反 数-a 比较，大小关系正确的是（ 1 A．-a＜ a ≤a 1 B．-a＜ a ＜a ） 1 1 C． a ＞a＞-a D．-a≤a≤ a 7．（2020·江苏七年级期中）有两个正数 a ， b ，且 a  b ，把大于等于 a 且小于等于 b 的 所有数记作  a, b ．例如，大于等于 1 且小于等于 4 的所有数记作  1, 4  ．若整数 m 在  5,15 n 内，整数 在   30,  20 内，那么 的一切值中属于整数的个数为（ n m A．5 个 B． 4 个 C． 3 个 ） D． 2 个 二、填空题  2 8．（2020·南通市东方中学七年级月考）计算：   6    7     =______．  3 9．（2021·江苏南京一中七年级月考）直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣ 0.125）＝________． 10．（2020·江苏）绝对值小于 2020 的所有整数的和为_____，积为_____． 11．（2020·常州市丽华中学七年级月考）________×（﹣ 4 ）＝﹣1． 5 三、解答题 12．（2020·江苏汇文实验初中）若 m、n 互为相反数，p、q 互为倒数，且 a =6，求 2020(m  n) 1  pq  a 的值． 2021 2 13．（2020·常州市丽华中学七年级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题： 17 计算：17 18 ×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答 过程． 解：原式＝﹣17 17 17 1 ×9＝﹣17 ＝﹣25 ． 18 2 2 14．（2020·南通西藏民族中学七年级期中）计算 15   （2）   99  8 16   1 5 7 1  （1） ( 36)       4 6 9 18  15．（2020·兴化市陈堡初级中学）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论” 的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目 后提出的“探究”． （提出