第 08 讲 整式的相关概念与代数式的值 【学习目标】 1．掌握单项式系数及次数的概念； 2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念； 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式； 4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系． 5.会求代数式的值，会利用求代数式的值解决较简单的实际问题。 【基础知识】 一．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式 连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部 分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 二．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的 含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如 a 或﹣a 这样的式子的系数是 1 或﹣1，不能 误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 三．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中 次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数， 如果一个多项式含有 a 个单项式，次数是 b，那么这个多项式就叫 b 次 a 项式． 四．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 【考点剖析】 一．整式（共 3 小题） 1．（2021 秋•城关区期末）下列式子：x2+2， +4， A．6 B．5 ， ，﹣5x，0 中，整式的个数是（ C．4 ） D．3 【分析】根据整式的定义分析判断各个式子，从而得到正确选项． 【解答】解：式子 x2+2， +4， ，﹣5x，0，符合整式的定义，都是整式； 这两个式子的分母中都含有字母，不是整式． 故整式共有 4 个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式．注意整式是有理式的一部分，在有 理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母． 单项式是数字或字母的积，其中单独的一个数或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和，多项式含 有加减运算． 2．（2022•通州区校级开学）下列各式中，不是整式的是（ A．3a B． C．0 ） D．x+y 【分析】根据单项式与多项式统称为整式，根据整式及相关的定义解答即可． 【解答】解：A、3a 是整式，不符合题意； B、 是分式，不是整式，符合题意； C、0 是整式，不符合题意； D、x+y 是整式，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查整式的相关的定义，解决此题的关键是熟记整式的相关定义． 3．（2019 秋•江都区期中）在下列各式：①π﹣3；②ab＝ba；③x；④2m﹣1＞0；⑤ 中，整式有 ①、③、⑥ ；⑥8（x2+y2） ． 【分析】根据整式的定义即可求出答案． 【解答】解：①π﹣3，是整式； ②ab＝ba，不是整式，是等式； ③x，是整式； ④2m﹣1＞0，不是整式，是不等式； ⑤ ，不是整式，是分式； ⑥8（x2+y2），是整式 整式有①、③、⑥． 故答案为：①、③、⑥． 【点评】本题考查整式的定义，解题的关键是熟练掌握整式的定义，本题属于基础题型． 二．单项式（共 5 小题） 4．（2021 秋•崇川区期末）关于单项式 的说法，正确的是（ A．系数为 2，次数是 2 B．系数为 ，次数是 3 C．系数为 D．系数为 ，次数是 2 ） ，次数是 3 【分析】根据单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【解答】解：单项式﹣ xy2 的系数为﹣ 、次数为 3， 故选：D． 【点评】本题考查了单项式的相关概念，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所 有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． 5．（2021 秋•射阳县校级期末）单项式﹣2πa2bc 的次数为 【分析】根据单项式的次数的概念解答即可． 【解答】解：单项式﹣2πa2bc 的次数为：2+1+1＝4， 4 ． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是单项式的次数的概念，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 6．（2021 秋•溧阳市期末）单项式﹣3x2y3 的系数是 ﹣3 ． 【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数解答． 【解答】解：单项式﹣3x2y3 的系数是﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查的是单项式，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题的关键． 7．（2022•亭湖区校级开学）单项式﹣2a2b 的系数和次数分别是（ A．﹣2，2 B．3，﹣2 C．3，2 ） D．﹣2，3 【分析】根据单项式的系数，次数的意义判断即可． 【解答】解：单项式﹣2a2b 的系数是：﹣2，次数是：3， 故选：D． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的次数的意义，所有字母的指数和是解题的关键． 8．（2016 秋•灌南县期中）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4， 5a5 ， ﹣6a6 （2）试写出第 2016 个和第 2017 个单项式； （3）试写出第 n 个单项式． 【分析】通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为 n×（﹣1）n+1，字母是 a，x 的指数为 n 的值．由此可解出本题． 【解答】解：（1）由前几项的规律可得：第五项、第六项依次为：5a5，﹣6a6； 故答案为：5a5，﹣6a6； （2）第 2016 个单项式为：﹣2016a2016，第 2017 个单项式为：2017a2017； （3）第 n 个单项式的系数为：n×（﹣1）n+1，次数为 n， 故第 n 个单项式为：（﹣1）n+1nan． 【点评】此题考查了找规律的单项式题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出 哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 三．多项式（共 9 小题） 9．（2021 秋•巨野县期末）多项式 x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣8 不含 xy 项，则 k＝ 2 ． 【分析】先将原多项式合并同类项，再令 xy 项的系数为 0，然后解关于 k 的方程即可求出 k． 【解答】解：原式＝x2+（﹣3k+6）xy﹣3y2﹣8， 因为不含 xy 项， 故﹣3k+6＝0， 解得：k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，题目设计巧妙，有利于培养学生 灵活运用知识的能力． 10．（2021 秋•渑池县期末）多项式﹣n+2 的次数是（ A．﹣n B．﹣1 ） C．1 D．2 【分析】根据多项式的次数的定义解决此题． 【解答】解：根据多项式的次数的定义，﹣n+2 的次数为 1． 故选：C． 【点评】本题主要考查多项式，熟练掌握多项式的次数的定义是解决本题的关键． 11．（2021 秋•郾城区期末）二次三项式 2x2﹣3x﹣1 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ A．2，﹣3，﹣1 B．2，3，1 C．2，3，﹣1 ） D．2，﹣3，1 【分析】根据单项式的系数定义和多项式项的概念得出即可． 【解答】解：二次三项式 2x2﹣3x﹣1 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是 2，﹣3，﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的项和单项式的次数和系数定义的内容是解此题 的关键． 12．（2021 秋•启东市期末）若关于 x、y 的多项式 2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5 是二次三项式，则 m＝ 【分析】直接利用多项式系数与次数确定方法得出 3m﹣1＝0，进而得出答案． 【解答】解：∵关于 x、y 的多项式 2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5 是二次三项式， ∴3mxy﹣xy＝0， 则 3m﹣1＝0， 解得：m＝ ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握相关定义是解题关键． 13．（2021 秋•宝应县期末）多项式﹣a2b3+a3b+1 的次数是 5 【分析】先找出多项式各项的次数，再确定多项式的次数． ． ． 【解答】解：该多项式各项的次数依次为：5，4，0． ∵多项式的次数是最高次项的次数， ∴该多项式的次数是 5． 故答案为：5． 【点评】本题考查多项式次数的概念，正确掌握多项式次数的求法是求解本题的关键． 14．（2021 秋•广陵区期中）已知多项式（m﹣3）x|m| 2y3+x2y﹣2xy2 是关于的 xy 四次三项式． ﹣ （1）求 m 的值； （2）当 x＝ ，y＝﹣1 时，求此多项式的值． 【分析】（1）直接利用多项式的次数的确定方法得出 m 的值； （2）将 x，y 的值代入求出答案． 【解答】解：（1）∵多项式（m﹣3）x|m| 2y3+x2y﹣2xy2 是关于的 xy 四次三项式， ﹣ ∴|m|﹣2+3＝4，m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3， （2）当 x＝ ，y＝﹣1 时，此多项式的值为： ﹣6× ×（﹣1）3+（ ）2×（﹣1）﹣2× ×（﹣1）2 ＝9﹣ ﹣3 ＝ ． 【点评】此题主要考查了多项式以及绝对值，正确得出 m 的值是解题关键． 15．（2021 秋•惠山区期末）下列说法错误的是（ ） A．2x2﹣3xy﹣1 是二次三项式 B．﹣x+1 不是单项式 C．﹣ 的系数是﹣ D．﹣22xa3b2 的次数是 6 【分析】利用多项式的有关定义判断 A、B，利用单项式的有关定义判断 C、D． 【解答】解：2x2﹣3xy﹣1 是二次三项式，故选项 A 说法正确； ﹣x+1 不是单项式，是多项式，故选项 B 说法正确； ﹣ 的系数是﹣ ，不是﹣ ，故选项 C 说法错误； ﹣22xa3b2 的次数是 6，故选项 D 说法正确．